Meiner persönlichen (ungeschulten) Meinung nach ist da durchaus die private Haftpflicht für zuständig.
Im Grunde genommen ist das doch nichts anderes als wenn Du vor deiner Haustüre keinen Schnee geschaufelt hast und jemand deswegen ausrutscht. Mit der KFZ-Versicherung hat das meiner Meinung nichts zu tun.
Aber - wie gesagt - nur meine persönliche Rechtsauffassung und überhaupt nix auf das du dich verlasseen solltest.
Wenn Du eine Rechtschutzversicherung hast würde ich dort mal anfragen. Die haben ja meist auch eine Anwaltshotline. Falls du keine hast, dann meld dich nochmal.